PENDAHULUAN Kalkulus

2 10 2008

1.1 Sistem Bilangan Real

1.2 Sistem Koordinat

Bab ini memuat materi-materi dasar yang diperlukan dalam mempelajari kalkulus. Beberapa materi yang disampaikan hanyalah merupakan review, namun demikian ada pula beberapa yang relative masih baru.

1.1 Sistem Bilangan Real

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi f atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a bukan elemen S”.

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa untuk sebarang himpunan A.

Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting.

Himpunan semua bilangan asli adalah . Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya dan untuk setiap . Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z,

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah dan p. Bilangan adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1 (lihat Gambar 1.1.1).

Gambar 1.1.1

Sedangkan bilangan p merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar 1.1.2).

d₁

l₁

l₂

d₂

Gambar 1.1.2

Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

i. berhenti (), atau

ii. berulang beraturan ().

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:

1.1.1 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk sebarang bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat komutatif

(i).

2. Sifat asosiatif

3. Sifat distibutif

4. (i).

(ii).

(iii).

5. (i).

(ii).

(iii).

6. (i). , untuk setiap bilangan .

(ii). tak terdefinisikan.

(iii). , untuk setiap bilangan .

7. Hukum kanselasi

(i). Jika dan maka .

(ii). Jika maka .

8. Sifat pembagi nol

Jika maka atau .

1.1.2 Relasi Urutan

Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi 3 himpunan bagian tak kosong yang saling asing: (i). Himpunan semua bilangan real positif; (ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota; dan (iii). Himpunan semua bilangan real negative.

Untuk sebarang bilangan real a dan b, a dikatakan kurang dari b (ditulis jika positif. Bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis ) jika . Sebagai contoh, . Mudah ditunjukkan bahwa:

a. Bilangan a positif jika dan hanya jika .

b. Bilangan a negatif jika dan hanya jika .

Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis . Jika a lebih dari atau sama dengan b, maka ditulis . Sedangkan dimaksudkan sebagai dan . Artinya b antara a dan c. Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c:

1. Jika maka untuk setiap bilangan real c.

2. Jika maka .

3. a. Jika dan maka .

b. Jika dan maka .

4. a. Jika maka .

b. Jika maka .

5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:

6. Jika maka: .

1.1.3 Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan dst. (Perhatikan Gambar 1.1.3)

–2 –1 0 1 2 3

· · · · · · ·

Gambar 1.1.3

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real.

1.1.4 Pertidaksamaan

Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real.

Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, £, ³).

Contoh 1.1.1

a. c.

b. d.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.

Contoh 1.1.2 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .

Penyelesaian:

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah .█

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas. Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.

Contoh 1.1.3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: .

Penyelesaian: Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

Sehingga diperoleh: .

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:

Diperoleh: .

Jadi, penyelesaian adalah .

Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika . Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: (Gambar 1.1.4).

x<2 2<x❤ x>3

0 2 3 4

· · · · · ·

Gambar 1.1.4

Pada bagian , nilai keduanya negatif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen , bernilai positif sedangkan bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian , masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel 1.1.1 di bawah ini.

Tabel 1.1.1

Tanda nilai

Kesimpulan

–

Pertidaksamaan dipenuhi.

Pertidaksamaan tidak dipenuhi.

Pertidaksamaan dipenuhi.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adalah .█

Metode penyelesaian seperti pada Contoh 1.1.3 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.

Contoh 1.1.4 Tentukan penyelesaian .

Penyelesaian: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:

Jika , maka diperoleh: . Selanjutnya, perhatikan table berikut:

Tabel 1.1.2

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan

–

–2

–

–3

–1

–

Pertidaksamaan dipenuhi.

Pertidaksamaan tidak dipenuhi.

Pertidaksamaan dipenuhi.

Pertidaksamaan tidak dipenuhi.

Pertidaksamaan dipenuhi.

Jadi, penyelesaian adalah .█

Contoh 1.1.5 Selesaikan .

Penyelesaian: Apabila pada ke dua ruas ditambahkan maka diperoleh:

Nilai nol pembilang adalah , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga diperhatikan tabel berikut:

Tabel 1.1.3

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan

–

–4

–

–7

–3

–

tak terdefinisikan

Pertidaksamaan tidak dipenuhi.

Pertidaksamaan dipenuhi.

Pertidaksamaan tidak dipenuhi.

Pertidaksamaan dipenuhi.

Pertidaksamaan tidak dipenuhi.

Pertidaksamaan dipenuhi.

Jadi, penyelesaian adalah .█

1.1.5 Nilai Mutlak (Absolute Value)

Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Jadi, nilai mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak –7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.

Definisi 1.1.6 Nilai mutlak , ditulis dengan notasi , didefinisikan sebagai:

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

Sebagai contoh, , , , dst. Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.

Sifat 1.1.7 Jika maka:

c. (Ketaksamaan segitiga)

Secara geometris, nilai mutlak dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.1.5).

7 unit 7 unit

–4 3 10

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Gambar 1.1.5

Jadi, penyelesaian adalah .█

Dengan mengingat Sifat 1.1.7 (b), kiranya mudah dipahami sifat berikut:

Sifat 1.1.8 Jika , maka: .

Sebagai contoh,

Secara sama,

Sifat 1.1.9 Jika , maka:

(a). .

(b). .

Contoh 1.1.10 Selesaikan .

Penyelesaian: Menggunakan Sifat 1.1.9 (b), diperoleh:

Jadi, penyelesaian adalah .█

Contoh 1.1.11 Tentukan semua nilai x sehingga .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.1.9 (a), maka:

Selanjutnya, karena:

maka, diperoleh: .█

Contoh 1.1.12 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .

Penyelesaian:

(i). Apabila , maka selalu berlaku untuk setiap x. Sehingga diperoleh: .

(ii). Jika , maka:

Dari (i) dan (ii), diperoleh .█

1.1.6 Selang (Interval)

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan . Berturut-turut didefinisikan:

Contoh 1.1.13 Tentukan penyelesaian .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.6 maka diperoleh:

Jadi, penyelesaian adalah .█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 21 tentukan penyelesaiannya.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.

22. 23. 24.

25. Jika dan maka tunjukkan .

26. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata aritmatika dari bilangan a dan b.

27. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.

28. Tunjukkan bahwa .

29. Jika dan maka tunjukkan .

30. Jika dan , tunjukkan .

1.2 Sistem Koordinat

Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam system koordinat: Sistem Koordinat Cartesius, Sistem Koordinat Kutub, Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub saja.

1.2.1 Sistem Koordinat Cartesius

Diperhatikan 2 garis lurus, satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertical). Selanjutnya, garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif.

Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV (lihat Gambar 1.2.1).

Kwadran I

Kwadran II

Kwadran III

Kwadran IV

Gambar 1.2.1

Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan . Titik mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah . Apabila maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

Gambar 1.2.2

· · · · · · · · · · · · · · ·

1.2.2 Sistem Koordinat Kutub (Polar)

Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan q adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub) (lihat Gambar 1.2.3).

Gambar 1.2.3

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius, dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4 (c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar .

(a)

(b)

(c)

Gambar 1.2.4 Berbagai pernyataan koordinat kutub untuk suatu titik.

Secara umum, jika menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

atau dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat dengan q sebarang bilangan.

1.2.3 Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat dalam sistem koordinat Cartesius dan dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1.2.5

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1)

atau:

(1.2)

Contoh 1.2.1 Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.

a. b. c.

Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (1.1):

a. .

Jadi, .

b. .

Jadi, dalam system koordinat Cartesius .

c. .

Jadi, .█

Apabila maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3)

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena akan memberikan 2 nilai q yang berbeda, . Untuk menentukan nilai q yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai q yang lain, maka .